機械

【電験三種・機械】同期機の計算（ベクトル図・同期インピーダンス・出力・電圧変動率）

結論：同期機の計算は「ベクトル図」と「出力公式」の2本柱

前回学んだ同期機の原理を、数値で扱えるようにするのが今回のテーマです。同期インピーダンスを使ったベクトル図と、相差角δによる出力計算が試験の中心です。

📐 ベクトル図

E, V, I の関係を
図で把握する

⚡ 出力計算

P = (EV/Xs)sinδ
相差角で出力が決まる

📉 電圧変動率

無負荷→定格負荷で
電圧がどれだけ変わるか

同期インピーダンス

等価回路

同期発電機の1相分の等価回路は、誘導起電力 E、同期インピーダンス Zs、端子電圧 V で構成されます。

同期インピーダンス

Zs = ra + jXs [Ω]

ra：電機子抵抗、Xs：同期リアクタンス

実用上は ra « Xs なので、Zs ≈ Xs（同期リアクタンスだけ）で計算することが多いです。

発電機の回路方程式

同期発電機（1相分）

E = V + jXsI （ベクトル式）

ra を無視した場合です。E は V より大きく、負荷角（相差角）δ だけ位相が進んでいます。

出力の計算

同期発電機の出力公式

1相あたりの出力

P = EVXs sinδ [W]

δ：相差角（負荷角）。三相出力は3倍

この式は送電線路の安定度の公式とまったく同じ形です。δ = 90° で最大出力となり、それ以上は脱調します。

ポイント：出力を大きくするには「E を上げる（界磁電流を増やす）」「Xs を下げる（短絡比を大きくする）」「δ を大きくする（ただし90°まで）」のいずれかです。

短絡比

短絡比 Ks = 定格電圧を発生する界磁電流定格電流の短絡電流を流す界磁電流 = 1%Xs / 100

短絡比が大きいほど同期リアクタンスが小さく、安定度が高いが、機械が大きく高価になります。

【練習問題①】出力の計算

【問題】同期発電機の1相あたりの誘導起電力 E = 5,000 V、端子電圧 V = 4,000 V、同期リアクタンス Xs = 10 Ω、相差角 δ = 30° のとき、1相あたりの出力 [kW] を求めよ。

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P = (EV / Xs) sinδ = (5,000 × 4,000 / 10) × sin30°

= 2,000,000 × 0.5

= 1,000,000 W = 1,000 kW

電圧変動率

電圧変動率

ε = E − VV × 100 [%]

E：無負荷時の端子電圧（= 誘導起電力）、V：定格負荷時の端子電圧

【練習問題②】電圧変動率

【問題】同期発電機の無負荷端子電圧が 6,930 V、定格負荷時の端子電圧が 6,600 V のとき、電圧変動率 [%] を求めよ。

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ε = (6,930 − 6,600) / 6,600 × 100 = 330/6,600 × 100

= 5.0%

%同期インピーダンスと短絡比の関係

短絡比 Ks %Xs 特性
大きい 小さい 安定度が高い。電圧変動率が小さい。機械が大きくなり高価
小さい 大きい 安定度が低い。電圧変動率が大きい。機械はコンパクト

理解度チェック

【第1問】

同期発電機の出力 P = (EV/Xs)sinδ において、出力が最大になる相差角 δ はいくらか。

(1) 0° (2) 30° (3) 45° (4) 60° (5) 90°

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正解：(5) 90°

sinδ が最大になるのは δ = 90° のとき（sin90° = 1）。これ以上負荷が増えると脱調します。

【第2問】

同期発電機の短絡比を大きくしたときの効果として、正しいものはどれか。

(1) 安定度が低下する
(2) 電圧変動率が大きくなる
(3) 同期リアクタンスが大きくなる
(4) 安定度が向上する
(5) 機械が小さくなる

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正解：(4) 安定度が向上する

短絡比が大きい = 同期リアクタンスが小さい → Pmax = EV/Xs が大きくなり安定度が向上します。ただし機械は大きく高価になります。

【第3問】

同期発電機の無負荷時の端子電圧が 230 V、定格負荷時の端子電圧が 200 V のとき、電圧変動率 [%] はいくらか。

(1) 10 (2) 13 (3) 15 (4) 17 (5) 20

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正解：(3) 15

ε = (230 − 200)/200 × 100 = 30/200 × 100 = 15%

【第4問】

同期発電機の出力を増大させる方法として、適切でないものはどれか。

(1) 界磁電流を増やす
(2) 端子電圧を上げる
(3) 同期リアクタンスを小さくする
(4) 相差角を大きくする
(5) 電機子抵抗を大きくする

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正解：(5) 電機子抵抗を大きくする

P = EV/Xs × sinδ の式に電機子抵抗 ra は出てきません。ra を大きくしても出力は増えず、銅損が増えて効率が下がるだけです。

まとめ

  • 同期インピーダンス：Zs ≈ Xs（電機子抵抗は通常無視）
  • 発電機の式：E = V + jXsI（ベクトル式）
  • 出力：P = (EV/Xs)sinδ。δ = 90°で最大
  • 電圧変動率：ε = (E − V)/V × 100 [%]
  • 短絡比：大きい→安定度高い・Xs小さい・機械が大型化

次の記事では、「パワーエレクトロニクス」を学びます。整流回路やインバータの仕組みに入ります。

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