自動制御の基礎 ミニテスト第1回｜帰還の符号・一次遅れ・PI制御の5問

正解：（4）水位が制御量、流出量の変化が外乱

制御量は「保ちたい実際の量」です。方式Aでは、水位の結果を測って入力側へ戻しています。設定より高い場合に流入を減らすので、ずれを打ち消す向きの負帰還です。水の使用が増えて流出量が増えると、水位を下げる要因になります。

• （1）誤り：設定水位は目標値です。制御量は実際の水位、検出量はセンサで測った水位です。この3つを同じものとして扱うと、センサ誤差も見落とします。
• （2）誤り：入力があるだけでは閉ループになりません。方式Bは水位という結果を測って戻していないので、水位については開ループです。
• （3）誤り：水位の上昇に対して流入を減らすため、変化を抑える負帰還です。正帰還は、戻した信号が元の変化を強める向きに作用します。
• （4）正しい：水位を制御し、指定された操作量は回転速度指令です。利用者が変える流出量は、このループが直接決めない外部からの影響です。
• （5）誤り：同じ運転時間でも、流出が増えれば水量の収支が変わります。方式Bには、水位のずれに応じて運転を修正する仕組みがありません。

なお、ポンプ内部に回転速度の制御があっても、水槽の水位まで閉ループになるとは限りません。何の量についてループを判定しているかを最初に決めます。

正解：（2）Y＝30、E＝2

上側の出力は6×4×E＝24E、下側は9Eです。合流点の指定に従って引くと、Y＝24E−9E＝15E。前向き経路全体のゲインはG＝15になります。

偏差の式へ戻すと、E＝8−0.20×15E＝8−3E。したがって4E＝8よりE＝2、Y＝15×2＝30です。帰還信号はB＝0.20×30＝6なので、E＝8−6＝2と再確認できます。

全体ゲインで解いても、W＝15/(1＋15×0.20)＝3.75、Y＝3.75×8＝30になります。分岐点で信号は半分になりません。また、並列なら必ず足すのではなく、合流点の＋・−に従います。

• （1）誤り：Y＝15×8＝120は、帰還を無視してEをRと同じ8にした値です。これではB＝24となり、E＝8−24＝−16という偏差の関係と矛盾します。
• （2）正しい：Y＝15EとE＝8−0.20Yの両方を満たします。答えを元の2式へ戻すと符号の誤りを見つけやすくなります。
• （3）誤り：E＝8−30＝−22は、帰還ゲイン0.20を無視した計算です。指令から引くのは出力Yそのものではなく、帰還信号Bです。
• （4）誤り：E＝8＋0.20Yと正帰還に変えると得られる組合せです。指定された負帰還では、Y＝−60ならE＝20となり、E＝−4とは一致しません。
• （5）誤り：6は正解時の帰還信号Bです。YとBを取り違えています。E＝2なら、前向き経路の出力は15×2＝30です。

この問は遅れのない数値モデルです。動的な系の安定性を、分母が「1＋GH」になったという理由だけで判定することはできません。

正解：（5）約3.79℃

一次遅れの形K/(Ts＋1)と比べると、K＝2℃/V、時定数T＝4秒です。入力変化が3 Vなので、十分時間がたったときの温度変化はK×3＝6℃になります。

初期状態ゼロからの応答は
y(t)＝6{1−exp(−t/4)}
です。4秒後はy(4)＝6×(1−0.368)＝3.792℃となり、約3.79℃です。時定数1個分では、最終変化量の約63.2％まで進みます。

• （1）誤り：3×0.632＝1.896という値で、入力に掛ける直流ゲイン2を落としています。入力3 Vと出力の温度変化を直接同じ数値で扱えません。
• （2）誤り：2は直流ゲインの数値です。ゲインの単位は℃/Vであり、入力電圧を掛けずに温度変化2℃とはできません。
• （3）誤り：6℃は最終変化量です。4秒は時定数であって、応答が完了する時刻ではありません。
• （4）誤り：6×0.368＝2.208℃は、4秒後に最終値まで残っている差です。現在までに変化した量は6−2.208＝3.792℃です。
• （5）正しい：最終変化量6℃に、4秒時点の到達割合0.632を掛けた値です。

初期状態ゼロとは、この問では基準温度からの変化がゼロという意味で、実際の温度が0℃という指定ではありません。初めから温度変化が残っていれば、その初期状態による応答も足す必要があります。また、G(s)はラプラス変換後の入出力比であり、各時刻でy(t)＝2u(t)と置くものではありません。

正解：（1）23.6％

積分は、偏差と時間の積を符号付きで足します。最初の6秒の面積は2×6＝12℃·s、次の4秒は(−1)×4＝−4℃·s。合計は8℃·sです。

積分項の増分は(3/15)×8＝1.6ポイント。初期値5ポイントを加えて、I(10)＝6.6ポイントです。一方、P項は10秒時点の偏差−1℃から、3×(−1)＝−3ポイントとなります。

u(10)＝20−3＋6.6＝23.6％

• （1）正しい：固定分20％、現在のP項−3ポイント、過去の蓄積を含むI項6.6ポイントを足しています。
• （2）誤り：20−3＋1.6＝18.6％は、I項の初期値5ポイントを落とした値です。問題は初期積分値ゼロとはしていません。
• （3）誤り：20＋3×2＋6.6＝32.6％は、P項に最初の偏差＋2℃を使った値です。P項は現在の偏差で決まります。
• （4）誤り：後半も正の面積として12＋4＝16℃·sとすると、20−3＋5＋(3/15)×16＝25.2％になります。積分する偏差の符号を保つ必要があります。
• （5）誤り：20−3＝17％はI項を丸ごと無視しています。偏差が負になっても、蓄積済みのI項が瞬時にゼロへ戻るわけではありません。

6秒時点のI項は5＋(3/15)×12＝7.4ポイントです。その後4秒で0.8ポイント減り、6.6ポイントが残ります。負の偏差は積分値を減らしますが、積分値そのものが直ちに負になるとは限りません。偏差がゼロになれば、リセットなどがない限り、その時点の積分値を保持します。

ここでは調節器の演算だけを確かめるため、偏差を外から指定しました。実際の閉ループで同じ偏差履歴になるという意味ではありません。％に足し引きする「ポイント」は出力の差であり、元の出力に対する相対的な増減率とは区別します。

正解：（3）ステップでは0、ランプでは0.5

一巡伝達関数をL(s)＝C(s)P(s)と置きます。掛け算を整理すると、
L(s)＝(8s＋12)/{s(5s＋1)}
です。単位負帰還なのでE(s)＝R(s)/(1＋L(s))となり、

E(s)＝R(s)×s(5s＋1)/(5s²＋9s＋12)

と書けます。安定性などの条件を満たして偏差が収束するとき、その値は最終値定理により、sE(s)のs→0での極限から求められます。本問の閉ループの極は5s²＋9s＋12＝0の根で、実部はいずれも−9/10なので安定という条件と一致します。

Aの計算：ステップのラプラス変換はR(s)＝2/s。これを代入すると、
sE(s)＝2s(5s＋1)/(5s²＋9s＋12)
です。s→0で分子が0、分母が12となるため、定常偏差は0です。

Bの計算：ランプのラプラス変換はR(s)＝6/s²。同じ式へ代入すると、
sE(s)＝6(5s＋1)/(5s²＋9s＋12)
となり、s→0で6/12＝0.5です。目標も出力も増え続けますが、その差は0.5に近づきます。

• （1）誤り：積分を含むからといって、どんな入力にも偏差ゼロになるわけではありません。この系は、ランプ入力に対して0.5の差を残します。
• （2）誤り：2/9はI項を外してC(s)＝2というP制御にした場合のステップ偏差2/(1＋2×4)です。指定されたPI制御とは条件が違い、Bも0にはなりません。
• （3）正しい：一定の目標Aには追いつきますが、一定速度で変わり続ける目標Bでは、積分項を増やし続けるための偏差が残ります。
• （4）誤り：ステップとランプの結果を逆にしています。目標が止まるAより、動き続けるBのほうが追従の条件が厳しくなります。
• （5）誤り：6は目標の毎秒の増加量です。偏差を求めるには積分ゲインと対象ゲインによる追従能力も含め、6/(3×4)＝0.5とする必要があります。

時間領域でも確認できます。Bで出力が毎秒6ずつ増える状態なら、直流ゲイン4の対象に必要な操作量は毎秒6/4＝1.5ずつ増えます。一定の偏差ではP項は変化しませんが、I項は毎秒3eだけ増えるため、3e＝1.5よりe＝0.5です。

実機には出力上限があるので、無限に上がる目標へこの計算どおり追従し続けることはできません。また、「積分を入れたから安定」ともいえません。ここでは入力の種類、安定性、出力制限の有無までそろえて比較しています。