交流回路の基礎では、抵抗・コイル・コンデンサを1つずつ電源につなぎ、電流が同相・90°遅れ・90°進みになることを確かめました。実際の設備では、これらが組み合わさって現れます。電動機の巻線は抵抗とコイルの直列ですし、力率を改善するコンデンサは電動機と並列に入ります。この記事では、組み合わせた回路の電流と電圧を求めます。手順は直流回路の基礎の合成抵抗とほとんど同じで、足す量が複素数になるだけです。ただし、並列回路の合成と共振の2か所は、直流の感覚のまま考えると答えを外します。その2か所には、条件と計算例を多めに用意しました。
この記事で押さえること
- コイルは jωL、コンデンサは 1／(jωC)＝−j／(ωC)。リアクタンス XL・XC は正の大きさで、±90°の向きは j が受け持つ。
- 直列は電流が共通なのでインピーダンスを足す。Z＝R＋j(XL−XC)。
- 並列は電圧が共通なのでアドミタンス（枝電流）を足す。抵抗とコイルが直列になった枝のコンダクタンスは 1／R ではない。
- Z の虚部が正なら誘導性（電流が遅れる）、負なら容量性（電流が進む）。力率は R／|Z|。
- 直列共振では Z が最小の R になり、コイルとコンデンサの電圧は電源電圧の Q 倍。Q＝ω0L／R、半電力帯域幅は f0／Q。
- 並列共振は抵抗の入り方で式が変わる。R・L・Cをそのまま並べた回路なら Z は最大の R。コイルに抵抗があると、共振周波数もそのときの Z も別の式になる。
この記事の計算の前提。電源を入れてから十分に時間がたち、電圧も電流も同じ周波数の正弦波になった状態（正弦波定常状態）を扱います。入れた直後の変化は過渡現象の範囲です。電圧・電流の大きさは実効値、角度は電源電圧を0°としたときの値で書きます。コイルとコンデンサは、とくに断らない限り損失のない理想的なものとします。
素子のインピーダンスを複素数で書く
1229では、電圧と電流の大きさの比が抵抗で R、コイルで ωL、コンデンサで 1／(ωC) になり、角度が0°・＋90°・−90°ずれることを見ました。大きさと角度を1つの複素数にまとめたものがインピーダンス Z［Ω］です。
素子ごとのインピーダンス
抵抗 ZR＝R
コイル ZL＝jωL＝jXL
コンデンサ ZC＝1／(jωC)＝−jXC
XL＝ωL、XC＝1／(ωC) はどちらも正の値［Ω］
j を掛けることは＋90°回すこと、j で割ることは−90°回すことです。j×(−j)＝−j2＝1 なので 1／j＝−j、だからコンデンサは−j になります。XC に負号をつけて覚えるのではなく、XC は正のまま、−j が向きを表すと考えると、直列でも並列でも符号を取り違えません。電圧の0°を基準にすると、I＝V／Z の割り算で角度は引き算になるので、電流の角度は Z の角度の符号を反対にしたものです。
リアクタンスは周波数で変わります。L＝30 mH、C＝150 µF で比べると次のとおりです。
| 周波数 | XL＝ωL | XC＝1／(ωC) |
|---|---|---|
| 50 Hz | 9.42 Ω | 21.2 Ω |
| 60 Hz | 11.3 Ω | 17.7 Ω |
| 150 Hz | 28.3 Ω | 7.07 Ω |
XL は周波数に比例し、XC は反比例します。この組合せでは75.0 Hz で2つが等しくなり、その前後で大小が入れ替わります。これが後で出てくる共振です。なお、代入するときは 1 mH＝10−3 H、1 µF＝10−6 F に直してからにします。
実際の部品は理想どおりではありません。コイルの巻線には抵抗があるので、コイル1個でも r＋jωL の形になります。鉄心のあるコイルは、電流が大きくなると鉄心が飽和して L が小さくなります。コンデンサの損失はふつうごく小さいので、多くの計算では無視します。
計算例1｜コイルの抵抗とインダクタンスを、直流と交流で分けて測る
設定。あるコイルに直流24 V を加えると3.0 A、50 Hz・100 V の交流を加えると5.0 A 流れた。巻線の抵抗 r とインダクタンス L を求める。
① 直流では XL＝0 なので、抵抗だけが見える。r＝24／3.0＝8.0 Ω
② 交流では |Z|＝100／5.0＝20 Ω
③ 抵抗とリアクタンスは直交するので XL＝√(202−8.02)＝√336≒18.3 Ω
④ L＝18.3／(2π×50)≒58.3 mH
⑤ Z の角度は tan−1(18.3／8.0)≒66.4°。電流は電圧より66.4°遅れ、力率は 8.0／20＝0.40
同じコイルを60 Hz・100 V で使うと、XL＝22.0 Ω、|Z|＝23.4 Ω で、電流は4.27 A に減ります。周波数が変わると、同じ機器でも流れる電流が変わります。
注意。引き算 20−8.0＝12 を XL にするのは誤りです。また、鉄心のあるコイルは①の直流と②の交流で鉄心の状態が違い、巻線の抵抗は温度でも変わります（直流回路の基礎の温度係数）。実物を測るときは、使うときに近い電流と温度で測ります。
直列回路｜電流が共通だからインピーダンスを足す
RLC直列回路
Z＝R＋j(XL−XC)
|Z|＝√{R2＋(XL−XC)2}
φ＝tan−1{(XL−XC)／R}
直列につながった素子には同じ電流 I が流れます。各素子の電圧は、抵抗が RI（I と同相）、コイルが jXLI（I より90°進み）、コンデンサが −jXCI（I より90°遅れ）です。コイルとコンデンサの電圧はちょうど逆向きなので打ち消し合い、残った差と抵抗の電圧が直角に組み合わさって電源電圧になります。
V＝√{VR2＋(VL−VC)2}
だから、各素子にあてた電圧計の読みを足しても電源電圧にはなりません。VL や VC が電源電圧より大きくなることも普通にあります（計算例2）。
Z の虚部の符号で、回路全体の性質が決まります。
| 条件 | Z の虚部 | 電圧に対する電流 | 回路の性質 |
|---|---|---|---|
| XL＞XC | 正 | 遅れる | 誘導性（遅れ力率） |
| XL＝XC | 0 | 同相 | 抵抗性（直列共振） |
| XL＜XC | 負 | 進む | 容量性（進み力率） |
電圧と電流のずれの余弦 cosφ＝R／|Z| を力率と呼びます。直列回路なら VR／V とも等しくなります。力率が電力の計算で何を意味するかは、次のテーマ交流電力と力率改善で扱います。
計算例2｜同じ直列回路でも、周波数で性質が入れ替わる
設定。R＝12 Ω、L＝79.6 mH、C＝93.6 µF の直列回路に、50 Hz・150 V を加える。このとき XL＝25.0 Ω、XC＝34.0 Ω になる。
① Z＝12＋j(25.0−34.0)＝12−j9.0 Ω。大きさ15.0 Ω、角度−36.9°で容量性
② 電流 150／15.0＝10.0 A。電圧より36.9°進み、力率は 12／15.0＝0.80（進み）
③ 各素子の電圧：VR＝120 V、VL＝250 V、VC＝340 V
④ 検算：√{1202＋(250−340)2}＝√22,500＝150 V
電源は150 V なのに、コンデンサには340 V、コイルには250 V がかかっています。部品を選ぶときは、電源電圧ではなく各素子の電圧を見ます。
同じ回路を60 Hz で使うと、XL＝30.0 Ω、XC＝28.3 Ω と大小が入れ替わり、Z＝12＋j1.7 Ω（12.1 Ω、7.9°）の誘導性になります。電流は12.4 A に増え、コンデンサの電圧は351 V です。
その間に共振がある。XL は周波数に比例し、XC は反比例するので、50 Hz での値から f0＝50×√(34.0／25.0)≒58.3 Hz で XL と XC が等しくなります。
並列回路｜電圧が共通だからアドミタンスを足す
並列につながった枝には同じ電圧 V がかかり、電源の電流は枝電流の和です。枝電流は V／Z なので、インピーダンスの逆数を足せば済みます。この逆数をアドミタンス Y［S］と呼びます。
アドミタンス
Y＝1／Z＝G＋jB［S］
R・L・Cを並べた回路：Y＝1／R＋j{ωC−1／(ωL)}
G＝コンダクタンス、B＝サセプタンス。I＝VY
コイルの枝は 1／(jXL)＝−j／XL で電流が遅れ、コンデンサの枝は 1／(−jXC)＝＋j／XC で電流が進みます。直列のときと符号の並びが逆に見えますが、どちらも「コイルの電流は遅れ、コンデンサの電流は進む」ことに変わりはありません。
抵抗とコイルが直列になった枝の逆数は、1／R と 1／XL に分けられません。分母の複素数を実数にすると
1／(R＋jX)＝R／(R2＋X2)−jX／(R2＋X2)
で、コンダクタンスは R／(R2＋X2) です。電動機のように抵抗とリアクタンスが一体になった負荷へコンデンサを並列につなぐ計算（確認2）では、ここを取り違えやすいので注意します。
計算例3｜3本の枝電流を足し、等価な直列回路に直す
設定。200 V の電源に、R＝50 Ω、XL＝25 Ω の理想コイル、XC＝40 Ω の理想コンデンサを並列につなぐ。
① 抵抗の枝 200／50＝4.0 A（同相）、コイルの枝 200／(j25)＝−j8.0 A、コンデンサの枝 200／(−j40)＝＋j5.0 A
② 電源電流 4.0−j8.0＋j5.0＝4.0−j3.0 A。大きさ5.0 A、電圧より36.9°遅れで誘導性
③ アドミタンスでも同じ：Y＝0.020−j0.040＋j0.025＝0.020−j0.015 S、大きさ0.025 S、|Z|＝40 Ω
④ Z＝1／Y＝32＋j24 Ω
枝の電流計は4.0 A・8.0 A・5.0 A を示しますが、電源側の電流計は17 A ではなく5.0 A です。コイルとコンデンサの電流が互いに打ち消し合っているからです。
④は、この並列回路を端子の外から見ると「32 Ω とリアクタンス24 Ω の直列」と区別がつかない、という意味です。元の抵抗は50 Ω なのに、等価な直列抵抗は32 Ω。並列と直列の値は、そのまま入れ替えられません。この置き換えが成り立つのも、計算した周波数でだけです。
直列共振｜インピーダンスが最小になる周波数
直列共振の条件
ω0L＝1／(ω0C) より
ω0＝1／√(LC)、f0＝1／{2π√(LC)}
Q＝ω0L／R＝1／(ω0CR)
共振周波数では虚部が0になり、Z＝R です。周波数を動かしたときの |Z| の最小値なので、同じ電源電圧なら電流は最大の I0＝V／R になり、電圧と同相です。ここでの R は、回路に入れた抵抗だけでなく、コイルの巻線抵抗なども含めた直列に入っている抵抗の合計です。
共振していても、コイルとコンデンサの電圧が0になるわけではありません。どちらも I0×ω0L＝V×ω0L／R、つまり電源電圧の Q 倍です。互いに逆向きで打ち消し合うので、外からは見えないだけです。
| 周波数 | 大小 | 回路の性質 | 電流 |
|---|---|---|---|
| f0 より低い | XL＜XC | 容量性 | 進み |
| f0 | XL＝XC | 抵抗性 | 同相・最大 |
| f0 より高い | XL＞XC | 誘導性 | 遅れ |
Q と半電力帯域幅
共振から周波数を少しずらし、|XL−XC|＝R になったところでは、|Z|＝√2R なので電流は I0／√2、抵抗で消費する電力は共振時の半分になります。位相は±45°です。この2つの周波数を半電力点、その間隔を半電力帯域幅と呼びます。直列RLC回路では、この間隔が次の式でぴったり表せます。
Δω＝R／L、Δf＝R／(2πL)＝f0／Q
Q が大きいほど共振の山は鋭く、ごく狭い周波数の範囲だけで大きな電流が流れます。ラジオが特定の放送局だけを選び出せるのは、この性質を使っているからです。この式は「抵抗・コイル・コンデンサが1本の直列」という回路に対するもので、並列回路にはそのまま使えません。
計算例4｜共振の電流とQを出し、半電力点で確かめる
設定。L＝50 mH、C＝20 µF、直列抵抗の合計 R＝4.0 Ω の直列回路に、実効値20 V で周波数を変えられる電源をつなぐ。
① LC＝0.050×20×10−6＝1.0×10−6、ω0＝1,000 rad/s、f0＝1,000／(2π)≒159.2 Hz
② 共振時 XL＝XC＝1,000×0.050＝50 Ω、電流 20／4.0＝5.0 A
③ Q＝50／4.0＝12.5。コイルとコンデンサの電圧はどちらも 5.0×50＝250 V（20 V の12.5倍）
④ Δω＝4.0／0.050＝80 rad/s、Δf＝12.7 Hz（159.2／12.5 と一致）
⑤ 半電力点は960.8 rad/s と1,040.8 rad/s（152.9 Hz と165.6 Hz）。どちらでも電流は 5.0／√2≒3.54 A、位相は低い側で45°進み、高い側で45°遅れ
⑤の2点は159.2 Hz から見て、下に6.2 Hz、上に6.5 Hz と少しずれています。共振周波数は2点のちょうど真ん中ではなく、√(152.9×165.6) で求める相乗平均になります。また、20 V の電源でコンデンサに250 V がかかることは、部品の定格電圧を選ぶときに見落とせません。
並列共振｜抵抗の入り方で式が変わる
並列回路でも、サセプタンス B が0になって電源電流が電圧と同相になる周波数があります。これが並列共振です。ただし、抵抗が回路のどこに入っているかで、共振周波数もそのときのインピーダンスも変わります。
(a) R・L・Cをそのまま並べた回路。ωC＝1／(ωL) で B＝0 となり、共振周波数は直列と同じ 1／{2π√(LC)} です。このとき Y は最小の 1／R、つまり Z は最大の R で、電源電流は抵抗の枝の分だけになります。コイルとコンデンサの枝には、それぞれ V／(ω0L) の電流が流れていて、2つの間を行き来しています。拡大されるのは直列共振の「電圧」に対して、並列共振では「枝の電流」です。
(b) 巻線抵抗 r をもつコイルとコンデンサの並列。実際のコイルに近いのはこちらです。コイルの枝のアドミタンスを分けて書き、虚部を0と置くと
ω0＝√{1／(LC)−(r／L)2}
そのときの Z＝L／(Cr)
になります。r が小さければ 1／√(LC) に近づきますが、同じではありません。r2≧L／C なら根号の中が0以下になり、電流が電圧と同相になる周波数そのものがありません。
| 直列共振 | 並列共振 (a) | |
|---|---|---|
| |Z| | 最小（R） | 最大（R） |
| 電源電流 | 最大 | 最小 |
| 増える量 | L・Cの電圧 | L・Cの枝電流 |
| 倍率 | ω0L／R | R／(ω0L) |
(a)の倍率は直列の Q の逆数の形です。並列の R は大きいほど損失が小さい（電流が流れにくい）からで、「Q＝ω0L／R」を並列回路にそのまま当てはめると逆の答えになります。
計算例5｜計算例4と同じ部品を、並列につなぎ替える
設定。計算例4の直列抵抗4.0 Ω が、すべてコイルの巻線抵抗だったとする（L＝50 mH、r＝4.0 Ω）。このコイルと C＝20 µF を並列にし、20 V を加える。
① ω0＝√(1,000,000−802)＝√993,600≒996.8 rad/s、f0≒158.6 Hz（直列では159.2 Hz）
② Z＝0.050／(20×10−6×4.0)＝625 Ω（直列共振では4.0 Ω）
③ 電源電流 20／625＝0.032 A。コイルの枝とコンデンサの枝には、それぞれ約0.40 A（電源電流の約12.5倍）が流れている
同じ部品でも、直列なら共振で4.0 Ω まで下がり、並列なら625 Ω まで上がります。なお ω＝1,000 rad/s ちょうどで計算すると Z＝625−j50 Ω となり、わずかに容量性です。(b)の回路では、共振周波数を 1／√(LC) で済ませると、電流が同相にならない点を見ていることになります。
ビルメンの設備で見かける場面
- 電動機は誘導性の負荷。巻線の抵抗とリアクタンスが直列になった形なので、電流は電圧より遅れます。受電点で力率を改善するコンデンサは、この負荷と並列に入り、進み電流で遅れ電流を打ち消します。確認2はその計算の一番小さい形です。コンデンサの容量の決め方と電力料金の関係は交流電力と力率改善で扱います。
- コンデンサを入れすぎると、今度は進みになる。夜間や休日のように電動機が止まって負荷が軽いとき、コンデンサだけが入ったままだと回路全体が容量性になり、力率は進みになります。計算例2で周波数を変えたときと同じで、XL と XC のどちらが勝つかで性質が入れ替わります。
- 進相コンデンサと直列リアクトル。高圧のコンデンサには、コンデンサのリアクタンスの6%のリアクトルを直列に入れる組合せがよく使われます。第 n 調波では XL が n 倍、XC が 1／n 倍になるので、2つが等しくなるのは n2×0.06＝1、つまり n≒4.08 です。第5調波より上ではこの直列回路は誘導性になり、高調波の電流を拡大しません（設計の考え方は変電所の設備）。基本波では、計算例2と同じ理由でコンデンサの電圧が電源より高くなり、その比は 1／(1−0.06)≒1.064 です。6.6 kV の設備で6%のリアクトルと組み合わせるコンデンサの定格電圧に7,020 V（6,600×1.064）という値があるのは、この計算に合わせたものです。
- コイルの測定。計算例1のとおり、直流の抵抗と交流の電流を測れば、巻線抵抗とインダクタンスを分けられます。インダクタンスや静電容量をブリッジで精密に測る方法は電気計測と測定器で扱います。
理解度チェック
どの問題も、途中で「直列か並列か」「どの抵抗を使うか」を選ぶところに分かれ道があります。解答では、5つの選択肢がそれぞれどの分かれ道で生まれた数字なのかを書いています。
確認1｜各素子の電圧計の読みから電源電圧を出す
正弦波交流電源に抵抗・コイル・コンデンサを直列につなぎ、各素子の端子電圧を測ったところ、抵抗60 V、コイル150 V、コンデンサ70 V だった。素子は理想的とする。電源電圧と回路の力率を正しく組み合わせたものを選べ。
（1）280 V、力率0.21
（2）100 V、遅れ力率0.60
（3）100 V、進み力率0.60
（4）228 V、遅れ力率0.26
（5）80 V、遅れ力率0.75
確認2｜誘導性の負荷にコンデンサを並列につなぐ
100 V の正弦波交流電源に、抵抗9 Ω と誘導リアクタンス12 Ω を直列にした負荷がつながっている。この負荷と並列にコンデンサをつなぎ、電源電流が電圧と同相になるようにしたい。コンデンサの容量リアクタンスと、そのときの電源電流を正しく組み合わせたものを選べ。
（1）12 Ω、5.0 A
（2）15 Ω、4.2 A
（3）18.75 Ω、4.0 A
（4）25 Ω、4.2 A
（5）18.75 Ω、6.67 A
確認3｜直列共振の性質
L＝25 mH、C＝10 µF、直列抵抗の合計4.0 Ω の直列回路に、実効値10 V で周波数を変えられる電源をつなぐ。素子は理想的とする。正しい記述を1つ選べ。
- （1）共振周波数は約2,000 Hz である。
- （2）共振時、コンデンサの端子電圧は電源電圧と同じ10 V である。
- （3）共振時の電流は、10 V をコイルのリアクタンス50 Ω で割った0.20 A である。
- （4）抵抗を4.0 Ω から8.0 Ω にすると、共振周波数は半分になる。
- （5）半電力帯域幅は約25 Hz で、その両端の周波数では電流が約1.77 A、電圧に対する電流の位相のずれは45°である。
まとめ
- コイルは jXL、コンデンサは −jXC。リアクタンスは正の大きさで、向きは j が表す。
- 直列はインピーダンスを足し、各素子の電圧は √{VR2＋(VL−VC)2} で合成する。L・Cの電圧は電源電圧を超えることがある。
- 並列はアドミタンス（枝電流）を足す。抵抗とリアクタンスが直列の枝は、分母を実数にしてから分ける。
- 虚部が正なら誘導性で電流は遅れ、負なら容量性で電流は進む。力率は R／|Z|。
- 直列共振は f0＝1／{2π√(LC)}、Z＝R で最小。L・Cの電圧は Q 倍、帯域幅は R／(2πL)＝f0／Q。
- 並列共振は回路の形で式が変わる。R・L・Cを並べた形なら Z＝R で最大、巻線抵抗のあるコイルなら周波数も Z も別の式。
次に進む・戻る
- RLC回路ミニテスト第1回：直列の複素インピーダンス、並列の枝電流、直列共振の素子電圧、周波数と容量性、Qと帯域幅の5問。25の選択肢すべてに誤りの理由がある。
- ミニテスト第2回と第3回：RC回路の |Z|、共振周波数の式、R・L・Cを並べた回路の並列共振、コイルのインダクタンス、力率、Qの定義を1問ずつ。
- 交流回路の基礎：前のテーマ。フェーザの書き方と、R・L・Cで電流が90°ずれる理由。
- 交流電力と力率改善：次のテーマ。力率 R／|Z| が電力の計算で何を意味するか、コンデンサの容量をどう決めるか。
- 直流回路の基礎：合成抵抗とコンダクタンス。直列・並列の考え方はここと同じ。
- 直流回路の解析：KCL・KVLとテブナンの定理は、交流ではインピーダンスを使って同じ手順で立てられる。
- コンデンサの基礎と計算・電磁誘導とインダクタンス：C と L そのものの求め方。
- 三相交流回路：1相ぶんのインピーダンスを、この記事の方法で計算する。
- 過渡現象：スイッチを入れた直後、定常状態になるまでの変化。
- 電気計測と測定器：ブリッジでインダクタンスと静電容量を測る。
- 変電所の設備：進相コンデンサに組み合わせる直列リアクトルの選び方。
- 電験三種とは？日程と科目合格の仕組み：申込みから科目合格までの流れ。
- 電気技術者試験センター「試験概要」：理論で扱う範囲の区分と、五肢択一の出題形式。
- 同センター「過去の問題と解答」：実際の問題で、リアクタンスが Ω で与えられるか、L・C と周波数で与えられるかを確かめられる。
- 国際度量衡局のSI文書：ヘンリー（H）・ファラド（F）・ジーメンス（S）の定義と、基本単位による表し方。
2026年9月29日に資料を見直しました。H・F・S という単位の組み立ては、2026年6月に改訂された SI Brochure 第9版（版4.01）で、理論科目の範囲と出題の形式は電気技術者試験センターの公開情報で確かめています。計算例と確認問題の抵抗・インダクタンス・静電容量・電圧は、計算の流れを追えるように当サイトで決めた値で、実在する機器の値ではありません。直列リアクトルの6%とコンデンサの7,020 V は、6.6 kV の高圧受電設備で一般的な組合せを例にしたものです。実際の設備では、銘板と設計図書で確かめてください。
※当サイトの画像にはAI生成のものが含まれており、実際の機器・器具とは外観が異なる場合があります。問題・解答の内容には細心の注意を払っておりますが、誤りが含まれる可能性があります。学習の参考としてご活用いただき、最終的な確認は公式テキスト・法令等で行ってください。当サイトの情報に基づく判断によって生じた損害について、一切の責任を負いかねます。
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