誘導電動機の特性と計算ミニテスト第1回｜軸出力・トルク・始動・比例推移の5問

正解：（2）二次入力9.00 kW、二次銅損0.36 kW

通常は入力から損失を引きますが、今回は軸の側から戻ります。まず90 Wを0.09 kWに直し、機械損を足して P_m を復元します。

P_m＝8.55＋0.09＝8.64 kW
P₂＝8.64／(1−0.04)
＝8.64／0.96＝9.00 kW
P_c2＝0.04×9.00＝0.36 kW

• （1）：8.64 kWは機械的発生出力です。これを二次入力と扱い、0.04を掛けた0.3456 kWを四捨五入すると0.35 kWになります。二次銅損を引く前まで戻せていません。
• （2）：二次入力9.00 kWから二次銅損0.36 kWを引けば8.64 kW、さらに機械損0.09 kWを引けば指定の軸出力8.55 kWになります。
• （3）：軸出力を直接0.96で割った 8.55／0.96＝8.90625 の丸め値です。機械損を戻していません。二次銅損の丸め値だけが偶然0.36になるので、組合せ全体で判定します。
• （4）：9.40 kWは、正しい二次入力に一次側損失0.40 kWを足した一次入力です。すべりを掛ける相手は一次入力ではありません。
• （5）：8.64 kWを0.04で割っています。8.64 kWは銅損ではないので、すべりで割って二次入力を求める関係は使えません。

全体の効率も確認できます。P₁＝9.00＋0.40＝9.40 kW なので、η＝8.55／9.40≈0.9096、約90.96%です。1−s＝96%は機械的発生出力／二次入力であり、全体の効率ではありません。入力9.40 kWが、軸出力8.55 kWと損失 0.40＋0.36＋0.09＝0.85 kW に分かれることも確かめられます。

正解：（4）電磁トルク約191.0 N·m、軸トルク約184.6 N·m

どちらも機械的な電力が与えられたので、軸の角速度を使います。1回転が2π rad、1分が60秒であることから、

ω＝2π×855／60
＝28.5π≈89.535 rad/s
T_e＝17,100／89.535
≈191.0 N·m
T_o＝16,530／89.535
≈184.6 N·m

• （1）：同期速度900 min⁻¹の角速度 30π rad/s で、17,100 Wと16,530 Wを割った値です。与えられた電力に対して分母が違います。
• （2）：電磁トルクと軸トルクが逆です。この条件では機械損があるため、負荷へ渡る軸トルクが小さくなります。
• （3）：後述の二次入力18,000 Wを軸の角速度で割ると約201.0 N·mです。二次入力から求める場合は同期角速度と組み合わせます。
• （4）：機械的発生出力には電磁トルク、機械損を引いた軸出力には軸トルクが対応します。いずれも軸の角速度で割っています。
• （5）：17.10と16.53をkWのまま代入した値です。Wへ直す1,000倍が抜けています。

二次入力を経由しても検算できます。N_s＝120×60／8＝900 [min⁻¹]、s＝(900−855)／900＝0.05。したがって P₂＝17.10／0.95＝18.00 kW です。

T_e＝18,000／(30π)
≈191.0 N·m

二次入力なら同期角速度、機械的な出力なら軸の角速度です。機械損 17.10−16.53＝0.57 kW に対応するトルクは 570／89.535≈6.4 N·m で、2つのトルクの差とも一致します。

正解：（5）100 A、70 N·mで、回り始められない

Yの各巻線にかかる電圧はΔの1/√3です。同じ停止時インピーダンスで比べると、巻線を流れる相電流も1/√3になります。

ただしΔでは線電流が相電流の√3倍、Yでは両者が同じです。Δでの相電流は 300／√3≈173.2 A。Yの相電流はさらに√3で割った100 Aで、これがYの線電流にもなります。

I_Y＝300／3＝100 A
T_Y＝210×(1／√3)²
＝210／3＝70 N·m

• （1）：300 Aを√3で1回だけ割っています。約173 AはΔ直入れ時の相電流で、Yに変えた後の線電流ではありません。
• （2）：トルクを 210／√3≈121.2 としています。固定周波数・同一すべりでは、トルクは巻線電圧の1乗ではなく2乗に比例します。
• （3）：線電流は正しいものの、トルクをΔ直入れ時のまま残しています。減電圧によるトルク低下を反映していません。
• （4）：電流にもトルクにも一律1/√3を掛けています。線電流と相電流の換算、トルクの2乗則の両方が抜けています。
• （5）：70 N·mでは負荷の90 N·mを上回れません。電流を抑える条件と、回り始める条件をそれぞれ満たす必要があります。

この比較は停止時同士です。加速後のΔ運転電流と、停止中のY始動電流を比べた値ではありません。切替時の過渡電流も1/3になるとは限りません。実際の選定では、始動後の全速度域で加速トルクと温度上昇などを確認します。

正解：（3）すべり0.060、軸速度940 min⁻¹、最大トルク260 N·m

追加する抵抗だけでなく、追加後の合計を比べます。

二次合成抵抗＝0.18＋0.27
＝0.45 Ω
抵抗の倍率＝0.45／0.18＝2.5
追加後のすべり＝0.024×2.5
＝0.060

等価回路の「二次合成抵抗／すべり」が変わらない点へ移すと、同じ電磁トルクになります。実際に 0.18／0.024＝7.5 Ω と 0.45／0.060＝7.5 Ω が一致します。これが比例推移です。

N_s＝120×50／6＝1,000 [min⁻¹]
N＝1,000×(1−0.060)
＝940 [min⁻¹]

• （1）：すべりを2.5で割っています。抵抗／すべりを保つには、抵抗とすべりを同じ倍率にします。
• （2）：追加分だけの 0.27／0.18＝1.5 を掛けています。元の巻線抵抗0.18 Ωも回路に残っています。
• （3）：合成抵抗とすべりを2.5倍にし、同期速度の94%を軸速度としています。このモデルでは最大トルクの大きさは変わりません。
• （4）：最大トルクにも2.5を掛けています。移るのは最大トルクが出るすべりであり、山の高さを2.5倍にはしません。
• （5）：抵抗を追加する前の運転点です。回路を変えたのにすべりを据え置くと、元と同じトルクにはなりません。

山の位置は 0.16×2.5＝0.40 へ移ります。0.40は停止時のすべり1より小さく、今回も通常の電動運転域に山があります。抵抗を大きくしすぎて山がすべり1を超えると、始動トルクが増え続けるとはいえません。

同じ電磁トルクと同期速度なので二次入力は同じですが、抵抗回路の発熱割合は2.4%から6.0%へ増えます。単に「小すべりでトルクがすべりにほぼ比例する」という、同じ回路内の近似と、抵抗を変える比例推移は別の話です。

正解：（1）35 Hzで280 V、70 Hzで400 V

基底周波数までの比は 400／50＝8 V/Hz。35 Hzでは 8×35＝280 V です。70 Hzでも同じ比を保つには560 Vが必要ですが、設定された上限400 Vを超えるため出せません。

• （1）：35 Hzでは比を一定にし、70 Hzでは上限に合わせています。低い周波数側と高い周波数側で条件を分けています。
• （2）：全域でV/f一定とした値です。70 Hz側が上限を160 V超えています。
• （3）：35 Hzでも400 Vにすると 400／35≈11.43 V/Hz になり、指定の8 V/Hzと一致しません。
• （4）：35 Hzの電圧を 400×(35／50)²＝196 V としています。V/f一定なら電圧は周波数の1乗に比例します。
• （5）：400×50／35 と 400×50／70 を使い、電圧を周波数に反比例させています。V/f一定の条件と逆です。

70 Hzでの比は 400／70≈5.71 V/Hz。巻線の電圧降下を無視すると誘導起電力は周波数×磁束に比例するので、同じ巻線では磁束の目安もV/fに対応します。この条件では50 Hz時の 50／70＝5／7 に低下し、磁束を一定には保てません。

一方、低い周波数では巻線抵抗による電圧降下が相対的に大きくなり、電圧を補う設定が必要になることがあります。「どの周波数でもV/fを一定にすればよい」と一般化しないようにします。

また、周波数を変えると同期速度やリアクタンスも変わります。第3問の固定周波数でのトルクの電圧2乗則だけを使って、35 Hzと70 Hzのトルクを比較することはできません。