同期機の計算ミニテスト第1回｜フェーザ・電圧変動率・短絡比の5問

正解：（2）210 V、30.24 kW

まずY結線の線間電圧を√3で割り、基準の相電圧を V＝420＋j0 V とします。流出電流を正にした発電機では、1相の式は E＝V＋jX_sI です。

jX_sI＝j7(24＋j42)
＝−294＋j168 V
E＝420−294＋j168
＝126＋j168 V

j²＝−1なので、電流の虚数成分にjを掛けた結果は負の実数になります。大きさは実部と虚部を二乗して足した平方根です。

|E|＝√(126²＋168²)
＝210 V

端子相電圧と同相の電流は24 Aです。1相の有効電力は 420×24＝10080 W、三相では 3×10080＝30240 W、したがって30.24 kWとなります。虚数成分の42 Aをそのまま有効電力に足しません。

• （1）：起電力は合っていますが、10.08 kWは1相分です。本問は三相分なので3倍します。
• （2）：電圧を相の値へ直し、jを含めて計算し、有効電力を三相分にしています。
• （3）：210√3≒363.7 V は内部起電力を線間相当へ換算した大きさです。求めるのは1相の値です。
• （4）：126＋168＝294と足した値です。実部と虚部は直角の成分なので、絶対値は単純な和になりません。
• （5）：進み電流にも電圧と同相の成分があります。本問では24 Aなので、有効電力は0ではありません。

この条件では電流が端子電圧より進み、内部起電力210 Vが端子相電圧420 Vより小さくなりました。ただし、進み力率なら必ずこの大小関係になるわけではありません。電流の大きさと位相を含めて式を計算する必要があります。

正解：（4）13.5 kW、遅れ

電動機へ流れ込む向きを正にすると、端子電圧が内部逆起電力とリアクタンスの電圧降下を受け持ちます。したがって V＝E＋jX_sI です。発電機で定めた流出方向の式と混ぜないようにしましょう。

I＝(V−E)／(jX_s)
＝(60＋j60)／(j3)
＝20−j20 A

1/j＝−jを使えば割り算ができます。電流は実軸から−45°の向きなので遅れ、力率は cos45°≒0.707 です。

三相有効入力＝3×240×20
＝14400 W＝14.4 kW
軸出力＝14.4−0.9
＝13.5 kW

• （1）：14.4 kWは電機子の三相有効入力です。軸から取り出せる出力には損失の分だけ届きません。
• （2）：出力は合っていますが、電流の虚数成分が−20 Aなので遅れです。＋j側へ進んだ電流ではありません。
• （3）：240×20＝4800 W は1相の有効入力です。三相化と、三相合計900 Wの損失を引く処理が必要です。
• （4）：電動機の電圧式で電流を求め、三相入力から指定された損失を引いています。
• （5）：損失を足した値です。入力から出力へエネルギーが移る間に失われるので、軸出力では引きます。

抵抗を省く近似を指定されても、鉄損や機械損まで0になるとは限りません。また、ここで求めたのは軸出力です。界磁電源を含む装置全体の効率を求めるなら、別供給の界磁電力も分母の入力に加える必要があります。

正解：（5）−4.0%

比較するのはAとBです。記録Cは電圧を戻せていますが、界磁電流を変えたので、この定義の無負荷電圧には使えません。無負荷電圧をV₀、定格負荷時の電圧をV_nとすると、

ε＝(V₀−V_n)／V_n×100
＝(3600−3750)／3750
×100＝−4.0 %

無負荷の方が150 V低いので、符号は負です。分母は定格負荷時の3750 Vであり、2つの記録とも同じ種類の線間電圧なので、そのまま比を取れます。

• （1）：差を3750−3600にすると正になりますが、定義は無負荷から負荷時を引きます。
• （2）：差の−150 Vを無負荷の3600 Vで割った結果です。分母の基準が異なります。
• （3）：3600／3750×100＝96 % は無負荷電圧そのものの比です。電圧変動率では差の比を求めます。
• （4）：AとCだけを比較した値です。励磁を調整した記録を混ぜると、励磁を固定したときの変化が分かりません。
• （5）：速度と励磁をそろえたA・Bを選び、差を負荷時の値で割っています。

進み電流の電機子反作用によって、同じ励磁でも負荷時の端子電圧が高くなる場合があります。負の値は計算の失敗を意味しません。一方、AVR（自動電圧調整器）で励磁を動かして電圧を保つ動作と、この固定励磁での指標は区別します。

正解：（1）0.60、約166.7%

短絡比K_sは、無負荷で定格電圧を作る界磁電流を、短絡時に定格電流を流す界磁電流で割ります。本問では K_s＝3.0／5.0＝0.60 です。3.0 Aと5.0 Aはどちらも界磁巻線の電流で、定格の電機子電流40 Aとは別の量です。

試験値からリアクタンスまでたどってみましょう。短絡電流は界磁電流に比例するので、界磁3.0 Aでは 40×3.0／5.0＝24 A。同じ励磁での無負荷相電圧は600 Vです。

X_s≒600／24＝25 Ω
基準Z_b＝600／40＝15 Ω
x_s＝25／15≒1.667 pu
百分率＝100x_s≒166.7 %

puは、基準値を1とした比です。この条件での K_s≒1／x_s を使っても、1／(25／15)＝0.60 と戻れます。百分率の数値を使うなら K_s≒100／(%X_s) です。

• （1）：界磁電流比と、定格基準のリアクタンスの逆数が整合しています。
• （2）：短絡比の割り算を5.0／3.0に逆転しています。定義どおりなら0.60です。
• （3）：短絡比0.60をそのまま百分率にした値です。リアクタンスは短絡比の逆数を取ってから100倍します。
• （4）：界磁電流比は無次元の0.60で完結します。そこでさらに100で割る必要はありません。
• （5）：リアクタンスを求める分子だけに線間電圧600√3 Vを使い、基準を15 Ωのままにすると、この誤った値になります。1相の電圧・電流で統一します。

ここで使ったのは無負荷飽和曲線の定格電圧に対応する値です。未飽和部分を延長した空隙線から得た値や、短絡直後の過渡・初期過渡リアクタンスを同じものとして代入しません。24 Aも短絡直後の最大瞬時電流ではなく、短絡曲線から読む持続電流の実効値です。

正解：（3）450 kW、約48.6°

非突極・抵抗無視の基本モデルでは、相電圧の大きさE・Vを使った三相有効出力は P＝3EV／X_s×sinδ です。変更前を計算すると、

P＝3×1800×1500／9
×sin30°＝450000 W
＝450 kW

原動機入力と損失が一定で、再び定常状態になったので、有効出力は450 kWを保ちます。励磁で内部起電力を下げても、その比率で有効出力が下がるという条件ではありません。出力式を満たすように相差角が変わります。

変更後のP_max
＝3×1200×1500／9
＝600000 W＝600 kW
sinδ＝450／600＝0.75

指定された範囲で δ≒48.6° となります。励磁を弱めて出力曲線の山が低くなった分、同じ450 kWを送るには、山の上り側で相差角を大きくする必要があります。

• （1）：変更後も相差角を30°に固定した値です。原動機入力と損失を変えない定常運転という条件と合いません。
• （2）：sinδ＝0.5×1200／1800 と、起電力の比を逆に掛けた値です。同じ出力ならEが減った分、sinδは増えます。
• （3）：有効出力を維持し、新しい出力曲線の安定な側で相差角を求めています。
• （4）：600 kWは変更後のモデル上の最大値です。原動機からの入力を増やしていないため、その値まで出力が増えるわけではありません。
• （5）：sin131.4°≒0.75 も数式上は同じですが、指定した範囲の外です。この基本モデルでは曲線の下り側にあたり、安定な運転点として選びません。

非突極・抵抗無視でE・V・X_sを一定にした定常出力曲線では、90°で最大になります。これは事故後の安定性を角度1つで保証する基準ではありません。事故中の加速や事故を取り除くまでの時間を扱う過渡安定度とは分けて考えます。

大きな系統への並列運転では、励磁変更は主に無効電力の分担に働きます。本問のように有効出力を保つ場合も、電機子電流や力率は変わり得るので、実機の許容範囲を省いてよいわけではありません。