変圧器の等価回路と計算｜一次換算・%Z・電圧変動率・効率【電験三種・機械】

巻数比と電圧・電流の関係を先に確認したい場合は、変圧器の構造と原理へ。この記事を読んだ後の演習には、変圧器の等価回路と計算ミニテスト第1回を使えます。

1．等価回路は、実物の働きを回路部品に置き換える

理想変圧器は、損失も励磁電流もないと仮定した変圧器です。実際の変圧器には、巻線の抵抗、両方の巻線を通らずに漏れる磁束、鉄心を磁化するための電流があります。これらを回路に足します。

添字1は一次、2は二次です。抵抗とリアクタンスの単位は、どちらも Ω。ただし、理想的なリアクタンス自身は、有効電力を消費しません。「抵抗もリアクタンスも損失」とまとめないようにしましょう。鉄損抵抗も、実物の鉄心に電気抵抗を配線したという意味ではありません。

巻線抵抗と漏れリアクタンスは、負荷電流の通り道に直列に入ります。鉄損抵抗と励磁リアクタンスは、互いに並列です。この2本の枝を合わせて励磁回路と呼びます。負荷を外しても、励磁回路には電流が流れます。

以下は、二次の値を一次側へ換算し、励磁回路を電源端へ移したL形の近似等価回路です。上下の横線が共通の接続点で、3本の枝は並列につながっています。

本来の励磁回路は、一次巻線の抵抗と漏れリアクタンスを通った先にあります。L形に移せるのは、励磁電流による一次巻線の電圧降下が小さいとみなすためです。さらに電圧降下や短絡試験だけを計算するときは、励磁回路を省くことがあります。無負荷電流や鉄損を求める問題では省けません。

2．一次換算で巻数比の2乗を掛ける理由

巻数比を a＝N₁／N₂ とします。一次換算とは、二次の回路を一次から見ても同じ電圧・電流の関係になる回路へ書き換えることです。実物の抵抗値を変える操作ではありません。

理想変圧器の関係を使うと、二次電圧 V₂ は aV₂ に、二次電流 I₂ は I₂／a になります。電圧を電流で割ったものがインピーダンスなので、

電圧が a 倍、電流が1／a 倍。この2つが重なるので a² 倍です。複素インピーダンスの場合も同じで、抵抗分とリアクタンス分の両方に掛けます。逆に一次の値を二次へ移すときは、a²で割ります。

• 一次換算した合成抵抗：R＝r₁＋a²r₂
• 一次換算した合成リアクタンス：X＝x₁＋a²x₂
• 二次換算した合成抵抗：r₂＋r₁／a²

計算例1｜換算しても、入力と出力のつじつまは合う

一次3,000 V、二次200 V の理想変圧器に、二次側で8 Ω の抵抗をつなぎます。巻数比は 3,000／200＝15 です。

1. 二次電流：200／8＝25 A
2. 一次換算の抵抗：15²×8＝1,800 Ω
3. 一次電流：3,000／1,800≒1.67 A
   電流比から求めた 25／15≒1.67 A と一致します。
4. 二次の電力：200×25＝5,000 W
   一次も 3,000×(25／15)＝5,000 W です。

8 Ω を15倍した120 Ωでは、一次に25 A流れる計算になり、電力が合いません。換算した抵抗と、換算前の電圧や電流を混ぜないことが大切です。実際の一次電流を求める場合は、さらに励磁電流を位相も考えて加えます。

3．無負荷試験と短絡試験で、何が分かるか

ここからの計算例2〜6は、単相・30 kV·A、一次3,000 V、二次200 Vの同じ架空の変圧器を使います。単相なので、定格電流は容量をその側の電圧で割ります。

I_1n＝30,000／3,000＝10 A
I_2n＝30,000／200＝150 A

三相の線電流を求める場合は、三相容量を √3×線間電圧 で割ります。以下の単相の式へ、三相の線間電圧と線電流をそのまま入れないでください。

無負荷でも、給電側の電流はゼロにならない

開放した側の負荷電流はゼロですが、給電側には励磁電流が流れます。したがって、給電側巻線の I₀²r の銅損も残ります。無負荷試験の電力計が示すのは無負荷損であり、厳密に鉄損だけではありません。

ただし、励磁電流が小さく巻線での損失を無視できるなら、無負荷損を鉄損と近似できます。「無負荷で鉄損を測る」は、この省略を含む覚え方です。今回、200 V側から定格周波数で給電した無負荷試験の入力を160 W とし、P₀＝160 W と置きます。

鉄損には、鉄心の磁化を繰り返すことで熱になるヒステリシス損と、鉄心中の渦電流が発熱する渦電流損があります。電圧・周波数が一定なら、負荷を変えてもほぼ一定と扱えます。周波数だけを変える問題では、磁束の最大値まで一定とは限りません。

計算例2｜短絡試験から、R・X・Zを求める

200 V側を短絡し、3,000 V側から給電したところ、60 Vで10 Aとなり、電力計は360 Wを示しました。電圧が低いので鉄心の磁束も小さく、励磁電流と鉄損を無視して計算します。

1. インピーダンスの大きさ：
   Z＝60／10＝6 Ω
2. 合成抵抗：
   R＝360／10²＝3.6 Ω
3. 合成リアクタンス：
   X＝√(6²−3.6²)＝4.8 Ω

すべて測定した一次側へ換算した値です。複素数でのインピーダンスは R＋jX、その大きさは √(R²＋X²)。抵抗とリアクタンスをそのまま足した8.4 Ωにはなりません。jは90°の位相の違いを表す記号です。

定格電流で測った360 Wを、以後は定格負荷損 P_kn として使います。負荷損には巻線の銅損のほか、漏れ磁束に伴う漂遊負荷損も含まれます。試験の基本計算では、これらを小さいとして銅損で代表させます。実機の特性値を比較するときは、巻線温度などの試験条件もそろえます。

なお、短絡したまま定格電圧3,000 Vを加える試験ではありません。定格電流になる電圧は、この例では60 Vです。大阪工業大学・森實研究室の公開講義資料の「精密等価回路と簡易等価回路」「無負荷試験と短絡試験」で、換算と試験回路を確認できます。

4．%Z・%R・%Xは、定格電圧を基準にする

%Z（百分率インピーダンス）は、定格電流を流すのに必要な短絡試験電圧を、その側の定格電圧と比べた値です。短絡試験電圧を V_s、定格電圧を V_n とすると、

同じ基準で、抵抗による電圧降下が%R、リアクタンスによる電圧降下が%Xです。

• %R＝(I_nR／V_n)×100
• %X＝(I_nX／V_n)×100
• %Z＝√(%R²＋%X²)

計算例3｜Ωで出した値を、%に直す

計算例2の値を、一次定格3,000 V・10 Aでそろえて計算します。

√(1.2²＋1.6²)＝2.0 と検算できます。%Rは、定格負荷損と定格容量からも 360／30,000×100＝1.2% と求められます。この比では W と V·A を使い、kV·Aの30をそのまま分母に入れません。

二次側に換算すると、Z＝6／15²、約0.0267 Ωです。150×(6／225)／200×100＝2.0% と、%Zは変わりません。Ωの値が変わっても、電圧と電流の基準を一緒に換算すれば同じ割合になります。

短絡電流とのつながり

電源や配線のインピーダンスを無視でき、変圧器に定格電圧がかかると仮定すると、二次端子の短絡電流の実効値は、およそ次の式で求められます。

短絡電流 ≒ 定格電流×100／%Z

この例の二次では 150×100／2＝7,500 A。定格電流の50倍です。%Zが小さいと、短絡時に電流を妨げる働きも小さくなるためです。実際の短絡電流には電源・配線のインピーダンスも関係し、この式は投入直後の非対称な電流のピーク値を表すものではありません。基本関係は日本電気技術者協会「変圧器の銘板に学ぶ」でも確認できます。

5．電圧変動率の分母は、負荷時の電圧

定格力率・定格電流で負荷をかけ、二次端子が定格電圧 V_2n になるように一次電圧を調整します。その後、一次電圧と周波数を変えずに負荷を外したときの二次電圧を V₂₀ とします。電圧変動率εの定義は、

分母は無負荷電圧 V₂₀ ではありません。たとえば、負荷をかけたとき200 V、外すと204 Vなら、(204−200)／200×100＝2.0% です。204 Vで割ると約1.96%となり、別の割合になります。

この定義は日本電気技術者協会「変圧器の電圧変動率と損失および効率計算」の式(1)に示されています。

計算例4｜遅れと進みで、リアクタンスの項の符号が変わる

電圧降下が小さい範囲では、定格電流のとき、次の近似を使います。θは負荷電圧と電流の位相差の大きさで、cosθが力率です。

• 遅れ：ε ≈ %R cosθ＋%X sinθ
• 進み：ε ≈ %R cosθ−%X sinθ

抵抗とリアクタンスによる電圧降下は、向きが違います。二次電圧と同じ向きの成分を拾うと、抵抗の項にはcosθ、リアクタンスの項にはsinθが付きます。進み電流では、後者の向きが逆になります。位相の基本は交流電力と力率で確認できます。

計算例3の %R＝1.2、%X＝1.6、力率0.6なら、sinθ＝√(1−0.6²)＝0.8。したがって、

• 遅れ：1.2×0.6＋1.6×0.8＝2.00%
• 進み：1.2×0.6−1.6×0.8＝−0.56%

負の値は、負荷をかけた二次電圧のほうが、無負荷時より高くなることを意味します。「負荷があると必ず電圧が下がる」とは限りません。

力率1ではsinθが0なので、一次近似は ε ≈ %R。ただし、厳密なベクトル計算でもリアクタンスの影響が完全に消えるという意味ではありません。近似で省いた高次の項には残ります。負荷電流が定格の m 倍なら、二次電圧をほぼ一定とみなす範囲で、右辺全体を m 倍します。

6．効率は「出力÷入力」、負荷損は電流の2乗

入力は、負荷に渡った有効電力と、変圧器内で失った電力の和です。ここでは無負荷損を P₀、定格電流時の負荷損を P_kn、負荷率を m と書きます。mはそのときの電流÷定格電流。電圧一定なら、皮相電力の比でも表せます。需要設備でいう「平均電力÷最大電力」の負荷率とは区別します。

巻線抵抗を一定とみなすと、負荷損は m²P_kn です。電流が半分なら4分の1、2倍なら4倍になります。以下は二次電圧・周波数・巻線抵抗を一定として、補機の消費電力などを省いた計算です。

S_nは定格容量［V·A］、P_out・P₀・P_knは電力［W］です。容量をkV·Aで計算したら、出力はkWになるので、損失もkWへ直してから足します。

計算例5｜半負荷と全負荷を比べる

これまでの変圧器は30 kV·A、無負荷損160 W、定格負荷損360 Wです。力率0.8の半負荷で計算すると、

1. 出力：30,000×0.5×0.8＝12,000 W
2. 負荷損：0.5²×360＝90 W
3. 入力：12,000＋160＋90＝12,250 W
4. 効率：12,000／12,250×100≒97.96%

全負荷なら、出力24,000 W、損失520 W、効率は 24,000／24,520×100≒97.88% です。出力が大きいほど効率も必ず上がる、とはいえません。

最大効率は、無負荷損とその負荷での負荷損が等しい点

電圧・周波数・力率が一定で、上の損失モデルが使えるとき、負荷率を動かしたときの最大効率条件は、

P₀＝m²P_kn
m＝√(P₀／P_kn)

なぜでしょうか。効率の分子と分母を m で割ると、出力に対応する S_n cosθ は一定になり、損失の部分だけが P₀／m＋mP_kn と変わります。軽負荷では最初の項が大きく、重負荷では後ろの項が大きくなります。2項の積は一定なので、和が最小になるのは両者が等しいとき。これを整理すると、上の条件になります。

この変圧器なら m＝√(160／360)＝2／3、約66.7%負荷です。そのときの負荷損は (2／3)²×360＝160 W、力率0.8での出力は16,000 W。効率は 16,000／16,320×100≒98.04% です。

「鉄損＝銅損」という覚え方は、無負荷損を鉄損、負荷損を銅損で代表させたものです。三菱電機のFAQ「変圧器負荷と効率の関係」でも、損失のつり合いと最大効率の関係を確認できます。

もし計算した m が1を超えても、過負荷で使う根拠にはなりません。使用できる負荷率を0〜1に限るなら、その範囲内での最大を考えます。また、力率も一緒に変える場合には、同じ最大条件を無条件に使えません。

7．全日効率は、電力を時間で積み上げる

1日の出力電力量を E_out、無負荷損の電力量を E₀、負荷損の電力量を E_k とすると、

全日効率＝E_out／(E_out＋E₀＋E_k)
×100 [%]

ここで使う単位は Wh や kWh。各時間帯の効率を足して24で割る方法ではありません。通電を続ける限り無負荷損は発生しますが、電源を切っている時間まで加算するわけではありません。

計算例6｜夜に負荷がなくても、通電中の損失は残る

同じ変圧器に24時間通電し、8時間ずつ、負荷率0.75、0.25、無負荷で使います。負荷がある時間の力率は0.8。無負荷損は0.160 kW、定格負荷損は0.360 kWにそろえます。

最初の8時間の出力は 30×0.75×0.8＝18 kW、その電力量は 18×8＝144 kWh。負荷損の電力量は 0.360×0.75²×8＝1.62 kWh です。次の8時間も同じ手順で計算します。

出力電力量は192 kWh、負荷損の電力量は1.80 kWh。無負荷損は全24時間分で 0.160×24＝3.84 kWh です。

全日効率＝192／(192＋3.84＋1.80)
×100≒97.15%

無負荷の行で0にしたのは、負荷電流に伴う損失です。励磁電流による小さな巻線損失などは、無負荷損の側に含めています。

この運転なら、無負荷損を10 W減らすと1日0.24 kWh減ります。一方、定格負荷損を10 W減らす効果は、0.010×(0.75²×8＋0.25²×8) で0.05 kWh。軽負荷や無負荷の通電時間が長いと、無負荷損を減らす効果が目立ちます。ただし、重負荷で長時間使う場合は負荷損も大きくなります。いつでも鉄損の低減が最優先、と決めず、時間ごとの電流で比べましょう。

8．確認問題｜基準と条件を先に決める

4問とも当サイトの自作です。正解だけでなく、ほかの選択肢がなぜ違うかも確認してください。

確認1｜二次の抵抗を一次へ移す

巻数比が12の理想変圧器で、二次側の抵抗0.25 Ωを一次換算した値［Ω］はどれか。

1. （1）0.00174
2. （2）3
3. （3）36
4. （4）144
5. （5）576

確認2｜何を分母に置くか

定格負荷時の二次電圧が240 Vになるよう一次電圧を調整した。その一次電圧と周波数を保って負荷を外すと、二次電圧は246 Vになった。電圧変動率［%］はどれか。

1. （1）−2.5
2. （2）2.44
3. （3）2.5
4. （4）6.0
5. （5）102.5

確認3｜無負荷試験で残る電流

変圧器の片側を開放し、反対側へ定格周波数・定格電圧を加えた。正しい説明はどれか。

1. （1）開放した側の負荷電流も、給電側の電流もゼロになる。
2. （2）給電側には励磁電流が流れ、入力電力の大部分は鉄損になる。
3. （3）電力計は、定格負荷時の銅損を示す。
4. （4）漏れリアクタンスは、巻線抵抗と同じように有効電力を消費する。
5. （5）測った無負荷損は、電圧や周波数を変えても必ず一定である。

確認4｜最大効率のときの負荷率

無負荷損144 W、定格負荷損900 Wの変圧器がある。電圧・周波数・力率を一定とし、負荷損は負荷率の2乗に比例する。効率が最大となる負荷率はどれか。

1. （1）0.16
2. （2）0.40
3. （3）0.60
4. （4）1.00
5. （5）2.50

まとめと次の演習

• 換算では側をそろえる。二次から一次へのインピーダンス換算は、巻数比の2乗を掛ける。
• 無負荷試験では励磁側、短絡試験では直列側の特性を調べる。「鉄損だけ」「銅損だけ」は近似を含む。
• %Zの分母は同じ側の定格電圧。電圧変動率の分母は定格負荷時の二次電圧。
• 効率ではkWとWを混ぜない。全日効率では、時間を掛けたkWhで足し合わせる。

出題範囲は電気技術者試験センターの試験概要、実際の出題は同センターの公開問題・解答で確認できます。この記事の説明・図・数値例・確認問題は独自に作成し、公開問題や参考書の文章・図は転載していません。

2026年10月8日確認・改訂。従来の電圧変動率の式は分母を無負荷電圧としていたため、定格負荷時の電圧へ訂正しました。無負荷時の電流・銅損と、全日効率の説明にも条件を補いました。本文中の協会講座、メーカーFAQ、大学講義資料を参照し、計算例は本文の式から検算しています。運営者は資格を独学中の個人です。