送電の電気的計算ミニテスト第1回｜電圧降下率の逆算・損失の比較・送電効率・相差角・フェランチ効果の5問

正解：（3）約10,600 kW

ふだんは「電力から電圧降下率を出す」向きで計算します。この問題は逆向きです。電圧降下率の条件を電圧降下［V］に直し、そこから電流、電力の順に戻ります。

① 抵抗：0.25×14＝3.5 Ω
リアクタンス：0.40×14＝5.6 Ω

② 許される電圧降下：
33,000×0.050＝1,650 V

③ sin θ＝√(1−0.96²)＝√0.0784＝0.28

④ 括弧の中：3.5×0.96＋5.6×0.28
＝3.36＋1.568＝4.928 Ω

⑤ 電流の上限：
1,650／(√3×4.928)≒193.3 A

⑥ 電力の上限：
√3×33×193.3×0.96≒10,607 kW

②で1,650 V を出すときに掛ける相手は、受電端の電圧です。電圧降下率は、電圧降下を受電端の電圧で割った値だからです。⑥は kV と A を掛けているので、kW で出ます。

検算：電力で書いた式 (PR＋QX)／V_r に Q＝P tan θ を入れると、電圧降下は P(R＋X tan θ)／V_r です。tan θ は 0.28／0.96≒0.2917 なので、P＝1.65×33／(3.5＋5.6×0.2917)＝54.45／5.1335≒10.61 MW。kV と Ω で入れたので、MW で出ました。⑥と同じ値です。

• （1）抵抗とリアクタンスを、行きと帰りの2条分（7.0 Ω と11.2 Ω）にした値です。電流が半分の約96.7 A になり、電力も半分の約5,300 kW になります。三相3線式を1相分の回路に直したときに入れるのは、電線1条分です。2倍にするのは、帰りの電線がある単相2線式のときです。
• （2）cos θ と sin θ を入れ替えて、抵抗のほうに sin θ を掛けた値です。3.5×0.28＋5.6×0.96＝6.356 Ω となり、電流は約150 A、電力は約8,200 kW です。抵抗での電圧降下は電流と同じ向きなので、掛けるのは cos θ のほうです。
• （3）正しい値です。
• （4）リアクタンスの項を落として、1,650／(√3×3.36)≒283.5 A とした値です。電力は約15,560 kW になります。力率が0.96あっても、括弧の中の4.928 Ω のうち1.568 Ω はリアクタンスの分です。
• （5）√3 を掛けずに、1,650／4.928≒334.8 A とした値です。電力は約18,370 kW になります。4.928 Ω に電流を掛けて出るのは、相電圧の降下です。線間電圧の降下1,650 V と比べるには、√3 倍します。

力率で、受けられる電力が変わる。同じ線路、同じ5.0%でも、負荷の力率が0.8なら tan θ は0.75で、上限は 54.45／(3.5＋5.6×0.75)＝54.45／7.7≒7.07 MW です。力率が1なら 54.45／3.5≒15.56 MW です。力率が0.8から1に上がると、受けられる電力は2倍以上になります。（4）の値は、力率が1のときの上限と同じです。リアクタンスの項を落とすと、力率が1の負荷を計算したことになります。

近似式の5.0%は、少し甘い。上限の電力を受けているときの電圧降下をフェーザで計算すると、約1,681 V（5.09%）で、相差角は約2.4°です。近似式は、送電端の電圧のうち受電端の電圧と直角な成分を捨てているので、その分だけ小さく出ます。問題文に「近似式で」と書かれていれば、近似式の値で答えます。

正解：（4）

抵抗による送電損失は、受電端の電力 P、受電端の電圧 V_r、力率 cos θ、電線1条の抵抗 R を使って、P²R／(V_r² cos²θ) と書けます。P は変えないので、残りの3つがどう変わるかを、対策ごとに倍率で出します。

• （1）損失は電圧の2乗に反比例します。1／1.2²＝1／1.44≒0.694倍 です。
• （2）損失は力率の2乗に反比例します。(0.8／0.95)²≒0.709倍 です。線路の電流が 0.8／0.95≒0.842倍 に減り、その2乗が損失の倍率になります。
• （3）損失は抵抗に比例します。0.7倍です。
• （4）いちばん小さくなります。1回線に流れる電流が半分になるので、1回線の損失は4分の1です。それが2回線分あるので、2×1／4＝0.5倍 です。2回線を並列にすると抵抗が半分になる、と考えても同じ答えになります。
• （5）損失は変わりません。1.0倍です。損失の式に、リアクタンスは入っていません。受電端の電力と電圧と力率が同じなら、線路の電流は同じです。直列コンデンサで変わるのは、電圧降下のうちリアクタンスの分と、送れる電力の上限（第4問）です。

3つが、ほぼ同じ0.7倍。電圧を2割上げること、力率を0.8から0.95に上げること、抵抗を3割減らすこと。損失で見ると、この3つの効き目はほとんど同じです。電圧と力率は2乗で効くので、変える幅が小さくても損失は大きく動きます。

順番は、数値しだいで入れ替わる。（4）が最小になったのは、この問題の数値での結果です。電圧を1.5倍にすれば 1／1.5²≒0.444倍 で、2回線にするより小さくなります。対策の順番を覚えるのではなく、式のどこに2乗がついているかを見て、その場で倍率を出します。

（1）と（2）は、どちらも線路の電流を減らす対策です。日本電気技術者協会の解説講座は、送電線や配電線の損失が電流の2乗に比例すること、電圧が下がると同じ電力を送るための電流が増えて損失も増えること、電力用コンデンサを負荷の近くにつないで無効電力をそこから出せば、系統の損失も電圧降下も小さくできることを説明しています。

正解：（2）92.4%

効率を出すには、先に損失が要ります。損失を出すには、電流が要ります。電流、損失、送電端の電力、効率の順に進みます。

① 電流：80,000／(√3×110×0.85)≒494 A

② 損失：3×494²×9.0≒6,589 kW

③ 送電端の電力：
80,000＋6,589＝86,589 kW

④ 送電効率：
80,000／86,589≒92.4%

①は、kW を kV で割っているので、A で出ます。検算：損失を電力と電圧から直接出すと、80²×9.0／(110²×0.85²)＝57,600／8,742≒6.589 MW で、②と同じです。

• （1）損失を受電端の電力で割り、100%から引いています。6,589／80,000≒8.24% で、100−8.24＝91.76% です。効率の分母は、送電端の電力です。
• （2）正しい値です。
• （3）電流を出すときに力率を入れず、80,000／(√3×110)≒419.9 A としています。損失は約4,760 kW、効率は 80,000／84,760≒94.4% です。力率が1の負荷を計算したことになります。
• （4）3倍するところを √3 倍にして、√3×494²×9.0≒3,804 kW としています。効率は 80,000／83,804≒95.5% です。√3 が出てくるのは、電圧降下と三相電力の式です。損失は、電線1条の損失を3条分足すので、3倍です。
• （5）損失を1条分の 494²×9.0≒2,196 kW にしています。効率は 80,000／82,196≒97.3% です。電線は3条あるので、3倍します。

「100から損失率を引く」が使えるのは、分母が送電端のとき。損失を送電端の電力で割ると 6,589／86,589≒7.61% で、100−7.61＝92.39% になり、④と一致します。受電端の電力で割った8.24%を引くと、（1）の値になってしまいます。問題文が損失率を与えているときは、何に対する割合なのかを先に読みます。

2つの値は、損失が小さいほど近づく。この問題では、（1）と（2）が0.6ポイント離れています。損失が受電端の電力の2%しかない線路なら、100−2＝98.0% と 100／102≒98.04% で、ほとんど同じです。この問題の約8%という損失は、取り違えたときの差が見えるように、大きめに置いた値です。

正解：（3）約843 MW

① 2回線のリアクタンス：
60／2＝30 Ω

② 送れる電力の上限：
230×220／30≒1,687 MW

③ 相差角30°のとき：
(230×220／30)×0.5＝25,300／30≒843 MW

kV と kV と Ω で入れたので、MW で出ます。線間電圧を入れると、三相分の電力になります。ここからさらに3倍することはありません。

• （1）2回線のリアクタンスを足して、120 Ω にしています。並列なので、半分の30 Ω です。
• （2）リアクタンスを60 Ω のままにしています。これは、1回線だけで相差角が30°のときの電力です。
• （3）正しい値です。
• （4）sin 30° ではなく cos 30° を掛けています。1,687×0.866≒1,461 MW です。送電電力は、相差角の sin に比例します。相差角が0°なら、電力は0です。
• （5）sin δ を掛けていません。②の値で、相差角が90°のときに送れる上限（定態安定極限電力）です。

上限の半分で送っているときに、1回線が止まると。相差角30°は、sin が0.5なので、上限のちょうど半分の電力です。ここで2回線のうち1回線が止まると、リアクタンスは60 Ω に戻り、上限は 230×220／60≒843 MW になります。いま送っている電力と同じ値です。sin δ は1、相差角は90°で、余裕がまったくありません。

1回線が止まっても送り続けるには、ふだんの電力を、2回線のときの上限の半分より小さくしておく必要がある、ということが式から読めます。実際には、1回線が外れた直後に相差角が大きく揺れるので、必要な余裕はもっと大きくなります。こちらは過渡安定度の話です。

電気学会の用語解説は、発電機が同期運転を保てなくなって不安定になった状態を、脱調現象と説明しています。日本電気技術者協会の解説講座には、送電線が安定に送電できる限界電力は系統電圧の2乗に比例する、とあります。式の分子が V_sV_r なので、両端の電圧を同じ割合で上げれば、上限は2乗で増えます。

正解：（1）

フェランチ効果では、受電端の電圧のほうが、送電端よりも高くなります。原因は、線路のリアクタンスを流れる進みの電流です。その電流をつくるのは、線路そのものの静電容量や、入ったままの電力用コンデンサです。5つの記述を、この1点から確かめます。

• （1）正しい記述です。分路リアクトルは、線路と大地のあいだ（負荷と並列）に入れるリアクトルです。遅れの電流を流して、線路の静電容量による進みの電流を打ち消します。
• （2）負荷に流れる電流は0でも、線路の静電容量を充電する電流は流れています。電圧より90°進んだ電流です。この電流がリアクタンスを流れるので、無負荷のときこそ、受電端の電圧が高くなります。
• （3）およそ4倍です。線路全体のインダクタンス L も静電容量 C も、こう長に比例します。電圧の上がり幅を決めるのは ω²LC／2 で、L と C の掛け算が入っているので、こう長の2乗に比例します。60 Hz で、1.3 mH/km と0.009 µF/km の架空線なら、80 km で約0.53%、160 km で約2.2%です。
• （4）逆で、ケーブルのほうが現れやすくなります。ケーブルのインダクタンスが架空線より小さいのは、そのとおりです。しかし、静電容量は架空線の数十倍あります。式に入るのは L と C の掛け算なので、静電容量の大きさが勝ちます。60 Hz、こう長40 km で比べると、（3）の架空線は約0.13%、0.35 mH/km と0.30 µF/km のケーブルは約1.2%です。
• （5）逆の操作です。電力用コンデンサは進みの電流を流すので、追加すると電圧はさらに上がります。電圧が上がりすぎたときは、入っている電力用コンデンサを切り離します。

電圧降下の式で見ると、符号が変わるだけ。進みの無効電力が流れているとき、電力で書いた電圧降下の式は (PR−QX)／V_r になります。第1問の線路（3.5 Ω と5.6 Ω、受電端33 kV）に、有効電力3 MW と進みの無効電力3 Mvar が流れると、(3×3.5−3×5.6)／33＝(10.5−16.8)／33≒−0.191 kV です。マイナスなので、受電端のほうが約191 V 高くなります。フェランチ効果は、別の式で起こる特別な現象ではなく、同じ式でリアクタンスの項が抵抗の項を上回った状態です。

日本電気技術者協会の解説講座は、地中ケーブルの系統では対地静電容量が大きく、軽負荷のときに進み電流となって系統の電圧が上がること、無効電力が余っているときの操作として、分路リアクトルの投入、同期調相機の弱め励磁運転、需要家の電力用コンデンサの開放などを挙げています。（3）と（4）の数値は、受電端を無負荷にして抵抗を無視したπ形回路の式で、当サイトが計算したものです。