変圧器の等価回路と計算ミニテスト第1回｜無負荷試験・%Z・電圧変動率・効率の5問

正解：（3）0.40 A

電力計で測るのは、有効電力です。ここでは90 Wを鉄損とみなすので、電圧と同相の鉄損電流 I_c を先に求めます。

鉄損電流
I_c＝90／300＝0.30 A

磁化電流 I_m は、この鉄損電流と90°ずれています。直流回路のように、大きさを足したり引いたりすることはできません。2つを直角三角形の辺、合成した無負荷電流 I₀ を斜辺として扱います。

I₀²＝I_c²＋I_m²
I_m＝√(0.50²−0.30²)
＝√0.16＝0.40 A

• （1）0.20 A：0.50−0.30 と引いた値です。0.50 Aは2成分の算術的な合計ではありません。位相差があるため、2乗の関係を使います。
• （2）0.30 A：90／300 で求まるのは鉄損電流です。磁束を作る側の電流とは役割が違います。
• （3）0.40 A：鉄損電流と直角に合成すると、無負荷電流0.50 Aになる値です。0.30²＋0.40²＝0.50² と確かめられます。
• （4）0.50 A：無負荷電流の全体です。鉄損電流まで磁化電流に含めています。鉄損をゼロとする問題なら両者は一致しますが、今回は90 Wの入力があります。
• （5）0.80 A：0.50＋0.30 と足した値です。無負荷電流に既に含まれている成分を、もう一度足しています。

等価回路へ戻すと、鉄損抵抗は R_c＝300／0.30＝1,000 Ω、励磁リアクタンスは X_m＝300／0.40＝750 Ω。両方に同じ電圧がかかる並列の枝です。抵抗は鉄損を、リアクタンスは磁束を作る働きを表します。

二次が開放でも、給電した一次側の電流はゼロではありません。実物には、その小さな電流による巻線の銅損もあります。「銅損を無視する」は計算上の近似で、「銅損が存在しない」と同じではありません。また、実際の無負荷電流には高調波が含まれるので、本問は波形のひずみを無視する条件を付けています。

正解：（4）6.0%

まず、6.0 Aが定格電流かどうかを確かめます。単相では、容量をその側の電圧で割れば定格電流です。54 kV·Aを54,000 V·Aに直して計算します。

一次定格電流
I_1n＝54,000／4,500＝12 A

試験電流6.0 Aは定格の半分でした。インピーダンスが変わらなければ、電流を2倍にする電圧も2倍です。定格電流を流すための一次電圧は、

135×(12／6.0)＝270 V

したがって
%Z＝270／4,500×100
＝6.0%

別の求め方では、一次側で測ったインピーダンスは Z＝135／6.0＝22.5 Ω。定格電流12 Aを掛ければ270 Vになるので、同じ結果です。Ωで求めても、最後には同じ側の定格電流・定格電圧を使います。

• （1）0.060%：270／4,500＝0.060 までで止めた値です。比の0.060を百分率にするには100を掛けます。0.060と6.0%は同じ比ですが、0.060%は違います。
• （2）1.5%：135／4,500×100＝3.0% を、さらに2で割っています。試験電流を6 Aから定格12 Aへ増やすので、電圧は半分ではなく2倍にします。
• （3）3.0%：135 Vをそのまま使った値です。これは定格の半分の電流に対応する割合で、定格電流を基準にした%インピーダンスではありません。
• （4）6.0%：定格電流にそろえた電圧270 Vを、一次定格電圧4,500 Vで割り、百分率に直した値です。
• （5）60%：135／225×100 とした値です。一次側の試験電圧と二次側の定格電圧を組み合わせ、さらに電流の補正も省いています。

二次側に換算しても確認できます。巻数比は a＝4,500／225＝20 なので、二次側のインピーダンスは 22.5／20²＝0.05625 Ω。二次定格電流は 54,000／225＝240 A です。0.05625×240＝13.5 V を225 Vで割って100を掛けると、同じ6.0%になります。Ω値は換算する側で変わりますが、基準もそろえれば百分率は変わりません。

短絡試験の電力計が示す値は、その試験電流での負荷損にほぼ相当します。6 Aでの電力を、そのまま12 Aでの定格負荷損とすることもできません。抵抗が一定なら、電流2倍で抵抗損は4倍です。

正解：（2）−0.92%

抵抗分には力率cosθを掛けます。リアクタンス分にはsinθを掛け、進み負荷ではその項を引きます。ここではsinθを正の大きさとして与えているため、式の側にマイナスを置きます。

進み負荷の一次近似
ε≒%Rcosθ−%Xsinθ
＝0.8×0.80−2.6×0.60
＝0.64−1.56＝−0.92%

• （1）−2.20%：抵抗分もリアクタンス分もマイナスにした値です。進み負荷だからといって、両方の符号を反転するわけではありません。
• （2）−0.92%：正の抵抗分0.64%より、差し引くリアクタンス分1.56%の方が大きいため、負の値になります。
• （3）＋0.64%：抵抗分だけです。力率1ならsinθが0になりますが、本問は力率0.80なので、リアクタンス分を省けません。
• （4）＋0.92%：計算結果の絶対値を取っています。電圧変動率の符号には意味があり、勝手に正に直すことはできません。
• （5）＋2.20%：0.64＋1.56 と足した値です。同じ力率の遅れ負荷なら、一次近似でこの値になります。

電圧変動率は、所定の力率で定格電流を流し、二次端子電圧を定格値 V_2n にした状態から、一次電圧・周波数を維持して無負荷にしたときの変化を表します。無負荷の二次電圧を V₂₀ とすると、

ε＝(V₂₀−V_2n)／V_2n×100

分母は定格負荷時の二次電圧です。負の変動率なら、無負荷の電圧の方が低いという意味です。たとえば二次定格電圧を250 Vとすれば、本問の近似では 250×(1−0.0092)＝247.7 V が無負荷電圧になります。負荷を外すと必ず電圧が上がる、とは限りません。

この−0.92%は、指定された一次近似での答えです。リアクタンスの影響が消える条件や、より正確な式まで確認したい場合は、変圧器の等価回路と計算の電圧変動率の節へ戻れます。

正解：（4）98.39%

出力、実際の負荷損、入力の順で計算します。容量のkV·Aは、そのまま有効電力のkWにはなりません。負荷率を掛けて実際の皮相電力にし、さらに力率を掛けます。

出力
64×0.625×0.80＝32 kW
＝32,000 W

この負荷での負荷損
0.625²×1,024＝400 W

損失の合計
125＋400＝525 W

入力
32,000＋525＝32,525 W

効率
η＝32,000／32,525×100
≒98.39%

• （1）96.53%：部分負荷でも定格負荷損1,024 Wが生じるとして計算しています。電流が下がるので、負荷損も小さくなります。
• （2）97.67%：負荷損を 0.625×1,024＝640 W とした場合の値です。負荷率は1回ではなく、2乗して掛けます。
• （3）98.36%：(1−525／32,000)×100 とした値です。「1−損失／入力」なら効率ですが、ここでは損失を出力で割っています。差は小さくても、分母の定義が違います。
• （4）98.39%：出力と損失を同じW単位にそろえ、出力を入力で割った値です。入力は負荷へ渡す32,000 Wに、変圧器内で失う525 Wを足したものです。
• （5）98.70%：力率を掛けず、出力を40,000 Wとして計算した値です。64×0.625＝40 kV·A は皮相電力で、力率0.80での出力は32 kWです。

負荷損の主成分は巻線の銅損ですが、厳密には漏れ磁束などによる漂遊負荷損も含みます。同様に、無負荷損も主成分は鉄損ですが、鉄損そのものと完全に同じではありません。本問は測定された損失の分類を使い、2乗で変化するというモデルを問題文で指定しました。

正解：（2）0.60

最大効率になるのは、その負荷で生じる負荷損が無負荷損に等しいときです。定格負荷損625 Wをそのまま225 Wと比較するのではなく、負荷率 m の2乗を掛けます。

625m²＝225
m²＝225／625＝0.36
m＝√0.36＝0.60

60%の電流で、負荷損は 0.60²×625＝225 W。無負荷損と一致し、指定された0〜1の範囲にも入っています。

• （1）0.36：損失の比を求めたところで止めています。0.36は負荷率の2乗なので、負荷率に戻すには平方根を取ります。
• （2）0.60：その負荷での負荷損と無負荷損が一致する値です。定格いっぱいまで流した状態ではなく、部分負荷で最大になります。
• （3）1.00：全負荷で最大と決めつけています。この条件では、全負荷の負荷損625 Wが無負荷損225 Wより大きく、既に最大効率点を越えています。
• （4）約1.67：√(625／225) と比を逆にした値です。負荷率を上げると負荷損はさらに増えるため、225 Wに近づける向きになりません。指定された範囲も越えます。
• （5）約2.78：625／225 と逆の比を取り、平方根も省いた値です。損失の比そのものを、運転すべき負荷率とはできません。

損失最小との違い

このモデルでは、電流を減らすほど損失の合計も減ります。しかし、出力も減るので、損失が小さい運転点が、そのまま効率の高い運転点になるわけではありません。無負荷では出力は0 Wで、225 Wの入力がすべて損失になるため、効率は0%です。

定格容量 S_n をV·A、無負荷損 P₀ と定格負荷損 P_kn をWで表すと、効率を決める出力は mS_ncosθ、損失は P₀＋m²P_kn。効率の分子と分母を m で割ると、変わる部分は P₀／m＋mP_kn になります。

この2項の積は P₀P_kn で一定です。和が最小になるのは2項が等しいときなので、P₀＝m²P_kn が得られます。力率を一定にして負荷だけを変えることが、この考え方の前提です。負荷率とともに力率も変わる場合は、各運転点の出力と損失から比較します。